As primeiras tentativas para explicar o movimento dos corpos celestes foram dos Gregos no século IV a.C. Foi um modelo no qual a Terra se situava no centro do universo (Teoria geocêntrica), e os outros planetas, o sol, e a lua, estariam incrustados em esferas que giravam em torno da Terra. Com esse modelo, foi possível descrever, com aproximação razoável, os movimentos dos corpos no céu.
O SISTEMA DE PTOLOMEU
Das tentativas de simplificação do modelo grego, aquela que obteve maior êxito foi a teoria geocêntrica do astrônomo Ptolomeu, que viveu na Alexandria no século II d.C. Ele supunha que os planetas moviam-se em círculos, cujos centros giravam em torno da Terra. Com isso, além de apresentar um modelo mais simples do que o dos Gregos conseguiu um melhor ajustamento aos movimentos observados do céu. Entretanto, as sucessivas modificações introduzidas nesse modelo, para torná-lo adaptado às observações que foram se acumulando durante esse longo período acabaram por tornar esse sistema, também muito complicado.
O SISTEMA HELIOCENTRICO DE COPÉRNICO
Nicolau Copérnico, acreditava que Deus não iria criar um universo tão complicado como o de Ptolomeu. No modelo de Copérnico, o sol estaria em repouso e os planetas, até mesmo a Terra, girariam em torno dele em órbitas circulares (teoria heliocêntrica). Essa idéia já havia sido proposta por outros filósofos da Grécia Antiga. Com essa teoria Copérnico conseguiu uma descrição dos movimentos dos corpos celestes tão satisfatória quanto as obtidas por Ptolomeu, com a vantagem de apresentar um modelo bem mais simples do que o geocêntrico. Sua teoria foi criticada pela igreja católica, e estava na lista dos livros proibidos pela igreja católica.
AS LEIS DE KEPLER
Após Copérnico morrer, Tycho Brahe começou a desenvolver um trabalho a fim de obter medidas mais precisas das posições dos corpos celestes. Ele verificou, com que o sistema de Copérnico, não se adaptava satisfatoriamente as rígidas observações que este havia feito.
Os dados recolhidos por Tycho Brahe foram a base do trabalho que Johannes Kepler desenvolveu após a morte de Tycho Brahe (Kepler era discípulo de Tycho).
PRIMEIRA LEI DE KEPLER
A correção do sistema de Copérnico, procurada por Kepler, é expressa por sua primeira lei. Seus estudos o levaram a concluir que, realmente os planetas se movem em torno do Sol, mas suas órbitas são elípticas, e não circulares como dizia Copérnico. Além disso, Kepler verificou que o Sol está em um dos focos da elipse:
“Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, na qual o sol ocupa um dos focos”.
A elipse de que Kepler fala, não é tão achatada como a mostrada nas imagens, porém pelos seus cálculos, ele pode constatar que é uma elipse.
SEGUNDA LEI DE KEPLER
Kepler pode ver que quanto mais perto do sol, mais rápido eles se movem e quanto mais longe do sol, mais lentamente eles se movem. Kepler percebeu também que mesmo a distância entre o sol o planeta sendo diferentes o tempo que eles demoram para percorrer elas é a mesma, pois as áreas são iguais, e apenas as velocidade são diferentes (perto do sol as velocidades são maiores).
Veja na parte A1, ele tem que passar mais rápido, pois o ângulo é maior em relação a mesma área do A2, como o ângulo do A2 é menos ele pode passar mais devagar, dessa forma, A1, e A2, tendo a mesma área com velocidade variada e ângulos diferentes, vai fazer com que o tempo seja igual ao passar nas duas.
“A reta que une um planeta ao Sol “varre” áreas iguais em tempos iguais”
TERCEIRA LEI DE KEPLER
Kepler procurou estabelecer relações entre os períodos de revolução dos planetas e os raios de suas órbitas (para simplificar esse estudo, as órbitas dos planetas serão consideradas circulas).
Revolução: movimento de um móbil, que percorre uma curva fechada.
O período de revolução e os raio dos planetas em torno do sol, são bastante diferentes um dos outros.
Mesmo o raio e a revolução, sendo diferentes, percebemos que se elevarmos, a segunda potência o período de revolução de cada planeta (T2) e dividirmos pelo cubo do raio de sua órbita (r3), o quociente T2 / r3 terá o mesmo valor para qualquer planeta (as pequenas diferenças, são plenamente justificadas, por erros experimentais).
T2: r3 = K
Em que K é uma constante para todos os planetas.
Desta relação, tiramos que T2 = r3, isto é, T2 é diretamente proporcional a r3
“Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de sua órbita”
| Planeta | Período (T - em anos terrestres) | Distância (D - em UA) |
| Mercúrio | 0,24 | 0,39 |
| Vênus | 0,62 | 0,72 |
| Terra | 1,00 | 1,00 |
| Marte | 1,88 | 1,52 |
| Júpiter | 11,86 | 5,20 |
Sendo que as respostas destes, se jogadas na fórmula, são todas aproximadas de 1 (ver tabela do livro).
Todas as leis de Kepler são conhecidas como Mecânica Celeste.
Unidade astronômica (1 u.a) é a mesma coisa que o raio da órbita da Terra, é a distância entre a Terra e o Sol.
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Ao estudar o movimento dos planetas com base nas leis de Kepler, Newton observou que, como eles descrevem órbitas em torno do sol, devem estar sujeitos a uma força centrípeta, pois, do contrário, suas trajetórias não seriam curvas. Falando isso, Newton, quis dizer que as leis do movimento elaboradas por ele, seriam válidas também para os corpos celestes.
“A força centrípeta, que mantém um planeta em sua órbita, deve-se à atração do Sol sobre esse planeta”
Ele designou por F (vetor), essa força centrípeta, a força centrípeta aponta do planeta pra o sol.
FORÇA DE ATRAÇÃO ENTRE O SOL E UM PLANETA
1) F (vetor) é proporcional à massa m do planeta
2) F é proporcional à massa M do sol
3) F é inversamente proporcional ao quadrado da distância “r” entre o Sol e o planeta. (quando o valor de r aumenta, ao valor de F diminui)
- Se r é duplicado, F torna-se quatro vezes menor
- Se r é triplicado, F torna-se 9 vezes menor
- Se r é quadruplicado, F torna-se 16 vezes menor.
F = G mM
r2
A constante G é denominada constante de gravitação universal.
A expressão acima nos diz:
“A força de atração do Sol sobre um planeta é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles”
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Newton viu que Terra atrai a Lua com uma força de mesma natureza que a força com que o Sol atrai os planetas, com mesma velocidade que a terra trai qualquer objeto.
Surgia assim a idéia de gravitação universal: dois corpos quaisquer se atraem com uma força F (vetor), denominada força gravitacional, cujo valor é dado pela mesma expressão matemática da força entre o Sol e um planeta.
Considerando m1 e m2 as massas de dois corpos, separados por uma distancia r, haverá entre eles uma força F (vetor) de atração dada por:
F = G m1m2
r2
Portanto:
Dois corpos quaisquer, se atraem com uma força proporcional ao produto de massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
A força de atração gravitacional entre dois objetos comuns, existentes na Terra, é muito pequena e Newton não foi capaz de verificá-la experimentalmente. Somente quando grandes massas (como o Sol e os planetas) interagem, a força de atração gravitacional torna-se apreciável.
A experiência da balança de torção, realizada por Cavendish 100 anos depois de Newton falar sobre a gravitação universal, provou que ela é verdadeira
Cavendish conseguiu medir a força de atração entre duas esferas e, com isso, foi possível determinar o valor da constante de gravitação universal G. No sistema Internacional de Medidas (SI), o valor de G é:
G = 6,67 x 10-11 N.m2/kg2
Tendo obtido, com sua balança o valor de G, Canvedish conseguiu determinar a massa da Terra:
Consideremos uma partícula de massa m, próxima à superfície da Terra (massa M e raio R). A partícula m será atraída pela Terra, com uma força F, que é o peso da partícula. Newton havia demonstrado que, na atração gravitacional entre dois corpos esféricos, tudo se passa como se a massa dos corpos, estivesse concentrada em seus centros. Assim, podemos imaginar a massa M concentrada no centro da Terra e a força F apontando para esse centro.
Como a distância de m ao centro da Terra é R (raio da Terra), podemos escrever, pela lei de gravitação universal:
F = G Mn
R2
Mas, como F representa o peso da partícula de massa m, temos, pela segunda lei de Newton:
F = mg
Igualando estas duas expressões para a mesma força:
G Mn = mg
R2
M = g.R2
G
Assim conhecendo o valor de g, R e G, conseguiremos determinar M.
Temos que g = 9,80 m/s2, R = 6,37 x 106 m e G = 6,67 x 10-11 N. m2/kg2 obtemos para a massa da Terra: M = 5,97 x 1024 kg
EVOLUÇÃO DAS ESTRELAS
- a atração gravitacional entre as próprias partículas constituintes da estrela, que tende a juntá-las em seu centro, o que leva à redução das suas dimensões.
- as explosões nucleares das estrelas fazem com que elas se expandam.
O tamanho da estrela se estabiliza, quando esses dois processos se equilibram.
- Cientistas dizem que o sol se expandirá e irá engolir a Terra, o sol vai passar a ser chamado de gigante vermelho. E quando todo o combustível nuclear acabar, o sol irá diminuir, devido ao processo gravitacional. Ele esfriará lentamente, transformando-se em uma pequena estrela morta, que não emitirá luz, nem calor, denominada anã negra.
- Para massas maiores, a atração gravitacional se torna tão intensa, que os seu prótons vão se juntar com os seus elétrons, e elas vão se transformar, numa esfera de nêutrons.
- Buracos Negros: Se uma estrela tiver, massa superior a 1,5 da massa solar, e estivesse se apagando e começasse a reduzir seu tamanho até atingir a metade de seu raio original, sem perder massa, seu peso na superfície dessa estrela, de acordo com a lei da Gravitação Universal, se tornaria quatro vezes maior.
“Se o raio original da estrela se tornar duas vezes menor, o peso de um corpo em sua superfície ficará quatro vezes maior”.
Dessa maneira, se o raio da estrela continuasse a diminuir, seu campo gravitacional se tornaria tão forte que a própria luz não conseguiria escapar, a estrela se tornaria invisível, e teríamos então um buraco negro. Embora não seja visto, os buracos negros “devoram” matéria, e o que entra lá, não consegue sair, nem a luz.
- As estrelas convertem hidrogênio em hélio.
- Supernova: o núcleo, que ajudou na explosão, se contrai e vira uma pequena estrela, ou continua a se contrair e vira um buraco negro.
MOVIMENTO DE SATÉLITES
Para colocar um satélite em órbita, é necessário, levá-lo a uma altura h (que varia), a altura só não deve ser inferior a cerca de 150 km, para que a região não sofra resistência do ar. Atingindo-se a altura desejada, o satélite, ainda por meio de foguetes, é lançado horizontalmente com uma velocidade v (vetor).A Terra, exerce sobre o satélite, uma força F (vetor) de atração, que alterará a direção da velocidade v, fazendo com que ele descreva uma trajetória curvilínea. Muitas pessoas pensam que naquela altura a força de atração da Terra sobre o satélite é nula ou desprezível, o que é errado, se isso fosse verdade, após ser lançado com velocidade v (vetor), continuaria a se mover em linha reta, com essa velocidade, e não entraria em órbita em torno da Terra. Para que a trajetória do satélite seja uma orbita circular em torno do centro da Terra, a velocidade horizontal v (vetor) deverá ter um valor determinado. Isso porque a força F (vetor) de atração da Terra deve proporcionar a força centrípeta necessária para esse movimento ocorrer.
CÁLCULO DA VELOCIDADE
O raio da órbita do satélite é dado por:
r = R + h
Em que R é o raio da Terra e h, a altura do satélite.
A força F (vetor) de atração da Terra sobre o satélite, é dada por:
F = G Mm
r2
Em que m é a massa do satélite e M, a massa da Terra (lembre-se de que podemos supor que a massa M está concentrada no centro da Terra).
(serve pra planeta e pra satélite)
V = raiz quadrada de GM : r
Logo se nos for fornecida a altura de um satélite em órbita, poderemos calcular sua velocidade, uma vez que os valores de G e M são conhecidos e que temos a fórmula r = R + h .
A velocidade do satélite, não depende de sua massa, porém quando maior for sua altura, menor será sua velocidade.
PERÍODO DO SATÉLITE
O tempo que o satélite gasta para dar uma volta em torno da Terra, é o seu período. Durante esse tempo T, a distância percorrida pelo satélite, será dada por 2πr (comprimento de sua órbita circular). Como se trata de um movimento uniforme teremos:
T = 2πr
v
Como já sabemos calcular v, esta expressão nos permitirá, calcular T do satélite.
O SATÉLITE ESTACIONÁRIO
Relembrando algumas coisas:
Equador: divide a Terra horizontalmente.
Um satélite eatacionário, tem um período de 24 h, ou seja, o mesmo período de rotação da Terra, e está situado no plano da linha do equador. Como ambos gastam o mesmo tempo para dar uma volta, o satélite parecerá estar parado para um observador na Terra. O satélite estacionário, também gira na mesma direção da Terra.
Curiosidades: os sinais de TV, se propogam com a velocidade da luz que é 300 000 km/s, o sinal de TV vai até o satélite, e é recebido por antenas, dessa forma podemos assistir TV.
Curiosidades: a atração gravitacional da Terra, está toda dirigida para o centro.
- Antípoda: pés opostos, de lados opostos no globo.
VARIAÇÕES NA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Como sabemos,o peso de um corpo é dado pela segunda lei de Newton por: P = mg.
Entretanto P é a força de atração que a Terra exerce sobre o corpo. Pela lei da gravitação universal, podemos portanto escrever:
P = G Mn
r2
Portanto mg = G Mn e g = G M
r2 r2
A fórmula acima nos permite calcular a gravidade em quanquer ponto da Terra.
- O valor de g (gravidade) não depende de m (massa do corpo sobre a Terra)
- Quanto mais nos afastarmos do centro da Terra, menor será o valor de g. Assim o valor de g no alto de uma montanha é maior do que em sua base.
- Como a Terra não é perfeitamente esférica, o valor de R no equador é maior do que o valor de R nos pólos, portanto no equador um objeto em contato com a Terra, se encontra mais longe do centro da Terra, do que esse mesmo objeto nos pólos, e quanto mais nos afastarmos do centro da Terra, menor será o valor da aceleração da gravidade, portanto a aceleração da gravidade no equador, é menor do que a aceleração da gravidade nos pólos.
Isto é:
R (no equador) > R (nos pólos) logo g (no equador) < g (nos pólos)
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE NA SUPERFÍCIE DE OUTROS CORPOS CELESTES
A expressão utilizada para calcular a gravidade na superfície terrestre vale para qualquer corpo, em qualquer lugar.
A aceleração da gravidade na superfície de um planeta é proporcional à sua massa e inversamente proporcional ao quadrado de seu raio.
- Quanto maior a massa de um planeta maior a gravidade
- Quanto maior o planeta menor sua força de gravidade. Quando maior o quadrado de seu raio, menor a aceleração da gravidade.
(com planetas de mesma massa)
A gravidade diminui com o aumento do raio, e multiplica, com a diminuição do raio. Em um problema, pega o valor de aumento de massa (ex:8) e divide pelo número de aumento da raio ao quadrado (ex:22), que vai dar 4 e o resultado vai ser dois, sendo a gravidade inicial 3 é só fazer 3 x 2 que é = a 6 que o valor da gravidade atual é encontrado.
- Newton provou que a trajetória de um planeta seria uma elipse perfeita se sobre ele atuasse apenas a força de atração do Sol. Entretanto, a força que um planeta exerce sobre o outro é muito menor do que a força de atração do Sol. Assim a trajetória de um determinado planeta é apenas ligeiramente perturbada pela atração dos demais.
- Gravidade maior = peso maior – Gravidade menor = peso menor
RESUMO GERAL (CADERNO)
Primeira lei de Kepler:
Periélio: posição em que o planeta se encontra mais próximo do sol.
R: distancia do planeta ao sol
T: tempo gasto pelo planeta em uma volta completa em torno do sol (o valor de T é tomado em anos terrestres)
FÓRMULA:
T2 / R3 = K
Dois corpos se atraem na razão direta do produto de suas massas e na razão inversa do quadrado da distância entre seus centros.
Fg = Gm. m
d2
Fg: força de gravitação (N)
D : distância
As forças de gravitação tem mesmo módulo mesma direção, sentidos opostos e aplicadas em corpos diferentes são par de ação e reação.
Peso = força de gravitação
Se considerarmos qualquer corpo de massa m muito próximo da Terra, podemos considerar a distancia d que os separa, igual o raio R da Terra.
Gravidade = campo gravitacional
O valor da gravidade de uma planeta depende de sua massa e da distância do ponto estudado.
O valor de g, aumenta com o aumento da latitude
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